Funciones racionales e inversas


Funciones racionales


Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios. Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales.
F(x) = P(x) / Q(x)
Donde P y Q son polinomio y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del analisis numerico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.
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Función inversa
Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial.

Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b) = a, entonces g(a)=b.


Propiedades
1. La primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la función compuesta. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición:
2. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial.
3. La composición de una función y su inversa nos da la función identidad.
4. La función inversa no siempre existe.
5. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial.
6. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.


La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la recta y = x, como podemos ver en la siguiente imagen:

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Por tanto si M(b,a) es un punto de f, y por tanto sabemos que M´(a,b) será un punto de g, entonces las pendientes de las tangentes en M y en M´son inversas. Es decir, si la pendiente de la tangente en M es m, entonces la pendiente de la tangente en M´ será 1/m.
Observación: Recordar que no es lo mismo función inversa, que la inversa de una función.

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